Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数！
（2）若当x属于（-1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（-1，1）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=-x，可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则有f(x1)-f(x2) =f(x1) +f(-x2) =

f(x1-x2)

1-x1x2

＞0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数．

解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0．
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则有f(x1)-f(x2) =f(x1) +f(-x2) =

f(x1-x2)

1-x1x2

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴-1＜x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．