Question

设直线l与球O有且仅有一个公共点P．从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径分别为3和2，若这两个半平面α，β所成的二面角为120°．则球O的半径R=

 

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Answer 1

分析：由已知中直线l与球O有且仅有一个公共点P．从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径分别为3和2，若这两个半平面α，β所成的二面角为120°．过P，O₁和O₂作球的截面，则OO₁⊥O₁P，OO₂⊥O₂P，O₁PO₂=120°，O₁P=3，O₂P=2，OP=R，根据两角和的余弦公式，可以构造一个关于R有方程，解方程即可求出R的值．

解答：解：∵直线l与球O有且仅有一个公共点P，
则直线l与球O相切于点P，
过P，O₁和O₂作球的截面，如下图所示

则O₁P=3，O₂P=2，OP=R
cos∠O₁PO=

3

R

，sin∠O₁PO=

R2-9

R

cos∠O₂PO=

2

R

，sin∠O₂PO=

R2-4

R

∵∠O₁PO₂=120°
∴cos∠O₁PO₂=cos∠O₁PO•cos∠O₂PO-sin∠O₁PO•sin∠O₂PO=

6- (R2-9)(R2-4)

R2

=-

1

2

解得R=

2 57

3

故答案为：

2 57

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角，球的性质，两角和的三角函数，其中P，O₁和O₂作球的截面，将空间问题转化为平面问题，是解答本题的关键．