Question

(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；

(2)1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)由于x≥1，y≥1，

要证x＋y＋≤＋＋xy，

只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.

因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，

从而所要证明的不等式成立．

(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.

于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.

其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.

故由(1)可知所要证明的不等式成立．