Question

已知函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，（n∈N*，且n＞1）．
（1）设函数h（x）=f₃（x）-F₂（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求证：f_n（x）≥nx．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出h（x）的导函数为0时x的值，然后当x∈[-2，0]时，分区间讨论导函数的正负得到函数的增减区间，得到函数的最大值和最小值即可；
（2）令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx．求出导函数，利用导数研究函数的增减性得到函数的最小值为g（0）=0，即可得证．

解答：解：（1）h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，x∈[0，2]
∴h'（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或x=-

1

3

，

∴h（x）在（-2，-1），（-

1

3

，0）上单调递增，在（-1，-

1

3

）上单调递减，过点（0，0）．
∴x∈[-2.0]时，f（x）_max=f（-1）=f（10）=0．f（x）_min=f（-2）=-2

（2）令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx．
则g'（x）=n（x+1）^n-1-n=n[（x+1）^n-1-1]，
∴当-2＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）_min=g（0）=0，即g（0）≥g（x）_min=0，
∴f_n（x）≥nx．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及用数形结合的数学思想解决问题的能力，是一道中等题．