Question

对于函数y=f（x），若f（2x）=af（x）+b（a，b∈R）恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，f（1）=3，且当x∈[1，2）时，f（x）=k-|2x-3|，关于函数f（x）有以下三个判断：
①k=4；　　
②f（x）在区间[1，2）上的值域是[3，4]；　　
③f（8）=-24．
则正确判断的所有序号是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考点：函数的图象

专题：

分析：根据条件中“P数对”的定义，结合函数的性质，代入①②③分别进行判断即可．

解答： 解：①当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，令x=1，则f（1）=k-1=3，解得k=4，∴①正确．
②∵k=4，∴当x∈[1，2）时f（x）=4-|2x-3|，
∴f(x)=

7-2x，x≥ 3 2 2x+1，x＜ 3 2

∴f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]，∴②正确．
③又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=-2f（x）恒成立，
∴f（8）=f（2×4）=-2f（4），f（4）=f（2×2）=-2f（2），f（2）=f（2×1）=-2f（1）=-2[4-|2-3|]=-2（4-1）=-2×3=-6，
∴f（4）=-2f（2）=-2×（-6）=12，f（8）=-2f（4）=-2×12=-24，∴③正确．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查与函数有关的新定义，结合函数的性质是解决本题的关键，对题意的正确理解是解此类题的突破．