Question

【题目】（本小题满分12分）如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比，同时与它的长度的平方成反比．

（1）在a＞d＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？

（2）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R=）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？

Answer 1

【答案】（1）变大；（2）当宽，高时，安全负荷最大．

【解析】

试题分析：（1）设安全负荷为，求出翻转90°后的表达式，然后求解比值的最大值．

（2）设截取的宽为a（），高为d，，得到安全负荷为，令利用函数的导数求解最大值即可．

试题解析：设安全负荷为,

翻转90°后,

可得： ,

当a＞d＞0时，1 ．此时枕木的安全负荷变大．

（2）设截取的宽为a（0＜a＜2），高为d，…6分

其长度l及k为定值，安全负荷为

令

此时

由,可得

∴

所以当宽时，取得取大值，此时高，

所以，当宽，高时，安全负荷最大