Question

已知抛物线y²＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.

(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；

(2)设＝α， ＝β，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

(1)由题意设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)，

联立方程可得，消去y并整理得：k²x²＋(4k－4)x＋4＝0①

设A(x₁，y₁) ，B(x₂ ，y₂)，又C(－，0)，则

x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝②

|MA|·|MB|＝|x₁－0|·|x₂－0|＝，

而|MC|²＝(|－－0|)²＝，

∴|MC|²＝|MA|·|MB|≠0 ，

即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列.

(2)由＝α， ＝β得，

(x₁，y₁－2)＝α(－x₁－，－y₁)，

(x₂，y₂－2)＝β(－x₂－，－y₂)，

即得：α＝，β＝，则

α＋β＝

 把(1)中②代入上式整理可得α＋β＝－1，故α＋β为定值且定值为－1.