Question

设函数f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）在区间[，2]上的最大值和最小值；
（2）当a≥0时，讨论方程+x--alnx=0的解的个数，并说明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-4x+1，∵f′（x）＞0?x＞1或x＜，∴f（x）在[，1]上递减，在（1，2]上递增，
∴f（x）_min=f（1）=0，又f（）=，f（2）=2，
∴f（x）_max=f（2）=2．
（2）?，令g（x）=，
则g′（x）=，
①当a=0时，g（x）=，则g（x）=0在（0，+∞）上无解；
②当a＞0时，则g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，
∴=-，
又∵当x→0时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，∴
（ⅰ）当＞0即0＜a＜e时，g（x）=0在（0，+∞）上无解；
（ⅱ）当=0即a=e时，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
（ⅲ）当＜0即a＞e时，g（x）=0在（0，+∞）上有两解；
综上：当a＞e时，g（x）=0在（0，+∞）上有两解；当a=e时，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
当0≤a＜e时，g（x）=0在（0，+∞）上无解．
分析：（1）求出函数在区间端点处的函数值，然后用导数求出极值，比较它们的大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值；
（2）恰当构造函数，转化为函数零点问题，利用导数研究该函数的单调性及其最值，结合图象即可得到答案．
点评：本题考查利用导数研究函数最值、单调性问题，考查分析问题、解决问题的能力，本题中渗透了分类讨论思想及函数与方程思想．