Question

19．在数列{a_n}中，a_n＞0，S_n是它的前n项和，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求a_n和S_n．

Answer 1

分析 由2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，可得4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，利用递推关系可得：化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴当n=1时，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
∴4a_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．