Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，下顶点为A，直线AF₁与椭圆的另一个交点为B，△ABF₂的周长为8，直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若过点P（1，3）的动直线l与圆O相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足：

CP

=-λ

PD

，

CQ

=λ

QD

，λ≠0且λ≠±1．求证：点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析：（I）利用△ABF₂的周长为8，可求a的值，确定直线AF₁的方程，利用直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3，即可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；
（II）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），利用

CP

=-λ

PD

，

CQ

=λ

QD

，λ≠0且λ≠±1，结合C、D在圆O上，即可证得结论．

解答：（I）解：∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8，∴a=2
∵F₁（-c，0），A（0，-b），∴直线AF₁的方程为

x

-c

+

y

-b

=1，即bx+cy+bc=0
∵直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3，O到直线AF₁的距离d=

bc

b2+c2

=

bc

2

．
∴(

bc

2

)2+

9

4

=b2
∴b²c²+9=4b²
∵c²=4-b²，∴b²=3
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）证明：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
∵

CP

=-λ

PD

，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴

1-x1=-λ(x2-1) 3-y1=-λ(y2-3)

，即

x1-λx2=1-λ(1) y1-λy2=3(1-λ)(2)

同理

x1+λx2=(1+λ)x(3) y1+λy2=(1+λ)y(4)

（1）×（3），得

x

2 1

-λ2

x

2 2

=（1-λ²）x（5）
（2）×（4），得

y

2 1

-λ2

y

2 2

=3（1-λ²）y（6）
（5）+（6），得

x

2 1

+

y

2 1

-λ2(

x

2 2

+

y

2 2

)=（1-λ²）（x+3y）
∵C，D在圆O上，∴

x

2 1

+

y

2 1

=3，

x

2 2

+

y

2 2

=3
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．