Question

（2013•西城区二模）已知集合S_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x₁，x₂，…，x_n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数g(x)=

1， x＞0 -1，  x＜0.

对于（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，定义：b_i=g（a_i-a₁）+g（a_i-a₂）+…+g（a_i-a_i-1），i∈{2，3，…，n}，b₁=0，称b_i为a_i的满意指数．排列b₁，b₂，…，b_n为排列a₁，a₂，…，a_n的生成列．
（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；
（Ⅱ）证明：若a₁，a₂，…，a_n和a'₁，a'₂，…，a'_n为S_n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于S_n中的排列a₁，a₂，…，a_n，进行如下操作：将排列a₁，a₂，…，a_n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列
（Ⅱ）证明：设a₁，a₂，…，a_n的生成列是b₁，b₂，…，b_n；a'₁，a'₂，…，a'_n的生成列是与b'₁，b'₂，…，b'_n．从右往左数，设排列a₁，a₂，…，a_n与a'₁，a'₂，…，a'_n第一个不同的项为a_k与a'_k，则通过比较可知a_k≠a'_k，只要证明：b_k≠b'_k．即可
（Ⅲ）先设排列a₁，a₂，…，a_n的生成列为b₁，b₂，…，b_n，且a_k为a₁，a₂，…，a_n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b₁≥0，b₂≥0，…，b_k-1≥0，b_k≤-1．然后进行操作，排列a₁，a₂，…，a_n变为排列a_k，a₁，a₂，…a_k-1，a_k+1，…，a_n，设该排列的生成列为b'₁，b'₂，…，b'_n，可证

解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，-2，1，4，3．
（Ⅱ）证明：设a₁，a₂，…，a_n的生成列是b₁，b₂，…，b_n；a'₁，a'₂，…，a'_n的生成列是与b'₁，b'₂，…，b'_n．
从右往左数，设排列a₁，a₂，…，a_n与a'₁，a'₂，…，a'_n第一个不同的项为a_k与a'_k，
即：a_n=a'_n，a_n-1=a'_n-1，…，a_k+1=a'_k+1，a_k≠a'_k．
显然 b_n=b'_n，b_n-1=b'_n-1，…，b_k+1=b'_k+1，下面证明：b_k≠b'_k．
由满意指数的定义知，a_i的满意指数为排列a₁，a₂，…，a_n中前i-1项中比a_i小的项的个数减去比a_i大的项的个数．
由于排列a₁，a₂，…，a_n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a_k小，则有k-l-1项比a_k大，
而b_k=l-（k-l-1）=2l-k+1．
同理，设排列a'₁，a'₂，…，a'_n中有l'项比a'_k小，则有k-l'-1项比a'_k大，从而b'_k=2l'-k+1．
因为 a₁，a₂，…，a_k与a'₁，a'₂，…，a'_k是k个不同数的两个不同排列，且a_k≠a'_k，
所以 l≠l'，从而 b_k≠b'_k．
所以排列a₁，a₂，…，a_n和a'₁，a'₂，…，a'_n的生成列也不同．
（Ⅲ）证明：设排列a₁，a₂，…，a_n的生成列为b₁，b₂，…，b_n，且a_k为a₁，a₂，…，a_n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b₁≥0，b₂≥0，…，b_k-1≥0，b_k≤-1．
依题意进行操作，排列a₁，a₂，…，a_n变为排列a_k，a₁，a₂，…a_k-1，a_k+1，…，a_n，
设该排列的生成列为b'₁，b'₂，…，b'_n．                                                
所以 （b'₁+b'₂+…+b'_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=[g（a₁-a_k）+g（a₂-a_k）+…+g（a_k-1-a_k）]-[g（a_k-a₁）+g（a_k-a₂）+…+g（a_k-a_k-1）]
=-2[g（a_k-a₁）+g（a_k-a₂）+…+g（a_k-a_k-1）]=-2b_k≥2．
所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．

点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．