Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱相等，AA₁⊥底面ABC，E是AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥CB₁；
（Ⅱ）在AB上找一点P，使P-CBE的体积等于C-ABE体积的

1

3

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，HB₁，由已知得CH⊥BE，BE⊥B₁H，由此能证明BE⊥CB₁．
（Ⅱ）

VP-CBE

VA-CBE

=

VP-CBE

VC-ABE

=

d1

d2

=

1

3

，根据相似三角形的关系得

BP

BA

=

1

3

，由此能求出点P在有向线段BA的三分之一处．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点H，连结CH，HB₁，
∵△ABC是等边三角形，∴CH⊥BE，
∵四边形AA₁B₁B是正方形，且E，H分别是AA₁，AB的中点，
∴BE⊥B₁H，
∵BE∩B₁H=D，∴BE⊥平面CHB₁，
∵CB₁?平面CHB₁，∴BE⊥CB₁．
（Ⅱ）解：∵V_C-ABE=V_A-CBE，
∴

VP-CBE

VA-CBE

=

VP-CBE

VC-ABE

=

d1

d2

，
其中d₁，d₂分别是点P，A到BE的距离，
∵

d1

d2

=

1

3

，∴根据相似三角形的关系得

BP

BA

=

1

3

，
∴BP=

1

3

BA，∴点P在有向线段BA的三分之一处．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点P的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．