Question

【题目】已知O为坐标原点，，，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为.记点G的轨迹为曲线C.

（1）若射线与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：.

（2）直线与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点T.

【解析】

（1）设点，根据，求得点的轨迹方程为，联立方程组，解答坐标，结合斜率公式，即可求解.

（2）设，则，解得,，假设顶点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则，求得，即可得到结论.

（1）设点，因为，即，

整理得点的轨迹方程为，

联立方程组，解得且，

所以，所以.

（2）设，则，

所以直线AM的方程为，令，解得,

同理可得,

假设定点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则,即，

又由，可得，所以，

即在x轴上存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点T.