Question

已知函数f（x）=|2^|x|-2|，x∈R．
①判断函数y=f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
②作出函数y=f（x）的图象，并完成下列填空．
已知关于x的方程f（x）=k，则当k∈

{0}∪（1，+∞）

时，方程有2个根；当k=

1

时，方程有3个根；当k

∈（0，1）

时，方程有4个根．

Answer 1

分析：①由题意，本题要先判断出函数的奇偶性，再利用定义证明，直接验证f（-x）与f（x）的关系即可；
②先作出如图的图象，由图易得出方程f（x）=k的根的个数与k的取值范围的关系．

解答：解：①函数的解析式知此函数是一个偶函数，证明如下：
因为f（-x）=|2^|-x|-2|=|2^|x|-2|=f（x）故函数是一个偶函数；
②函数的图象如右图
由图象知，当k＞1时，方程有二个根；
当k=0或1时，方程有三个根；
当0＜k＜1时，方程有四个根
故答案为＞1； 0或1；∈（0，1）

点评：本题研究函数奇偶性的判断，解题的关键是熟练掌握用定义法判断函数的奇偶性，本题第二小题作出准确的图象很关键，要注意把一些关键点做准确，本题考查了判断证明的能力及作图能力，是函数考查的基础题