已知数列{an}中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….
(I)求a3,a5;
(II)求{an}的通项公式.
【答案】
分析:(I)由题意知a
2=a
1+(-1)
1=0,a
3=a
2+3
1=3.a
4=a
3+(-1)
2=4,a
5=a
4+3
2=13.
(II)由题设条件知a
2k+1-a
2k-1=3
k+(-1)
k,a
2k-1-a
2k-3=3
k-1+(-1)
k-1,由此得a
2k+1-a
1=
(3
k-1)+
[(-1)
k-1],于是a
2k+1=
由此可求出{a
n}的通项公式.
解答:解:(I)a
2=a
1+(-1)
1=0,
a
3=a
2+3
1=3.
a
4=a
3+(-1)
2=4,
a
5=a
4+3
2=13,
所以,a
3=3,a
5=13.
(II)a
2k+1=a
2k+3
k=a
2k-1+(-1)
k+3
k,
所以a
2k+1-a
2k-1=3
k+(-1)
k,
同理a
2k-1-a
2k-3=3
k-1+(-1)
k-1,
a
3-a
1=3+(-1).
所以(a
2k+1-a
2k-1)+(a
2k-1-a
2k-3)++(a
3-a
1)
=(3
k+3
k-1++3)+[(-1)
k+(-1)
k-1++(-1)],
由此得a
2k+1-a
1=
(3
k-1)+
[(-1)
k-1],
于是a
2k+1=
a
2k=a
2k-1+(-1)
k=
(-1)
k-1-1+(-1)
k=
(-1)
k=1.
{a
n}的通项公式为:
当n为奇数时,a
n=
;
当n为偶数时,
点评:本题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.