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已知数列{an}中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….
(I)求a3,a5
(II)求{an}的通项公式.
【答案】分析:(I)由题意知a2=a1+(-1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(-1)2=4,a5=a4+32=13.
(II)由题设条件知a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k,a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,由此得a2k+1-a1=(3k-1)+[(-1)k-1],于是a2k+1=由此可求出{an}的通项公式.
解答:解:(I)a2=a1+(-1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(-1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以,a3=3,a5=13.
(II)a2k+1=a2k+3k
=a2k-1+(-1)k+3k
所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k
同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1
a3-a1=3+(-1).
所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)++(a3-a1
=(3k+3k-1++3)+[(-1)k+(-1)k-1++(-1)],
由此得a2k+1-a1=(3k-1)+[(-1)k-1],
于是a2k+1=
a2k=a2k-1+(-1)k=(-1)k-1-1+(-1)k=(-1)k=1.
{an}的通项公式为:
当n为奇数时,an=
当n为偶数时,
点评:本题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.
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