Question

设P，A，B，C半径为2的球面上四点，且满足

PA

•

PB

=0，

PA

•

PC

=0，

PB

•

PC

=0，则S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根据题中的数量积为零可得PA、PB、PC两两互相垂直，从而以PA、PB、PC为长、宽、高建立长方体，该长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球．由球内接长方体的性质与长方体的对角线公式，算出PA²+PB²+PC²=16．
最后利用三角形面积公式与基本不等式加以计算，可得当PA=PB=PC时，S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC有最大值为8．

解答：解：∵

PA

•

PB

=0，

PA

•

PC

=0，

PB

•

PC

=0，
∴PA、PB、PC两两互相垂直，
如图所示，以PA、PB、PC为长、宽、高建立长方体，可得长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，球的半径R=2．
∴PA²+PB²+PC²=（2R）²=16．
∵S_△PAB=

1

2

PA•PB≤

1

4

（PA²+PB²），S_△PAC=

1

2

PA•PC≤

1

4

（PA²+PC²），
S_△PBC=

1

2

PB•PC≤

1

4

（PB²+PC²），
∴S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC≤

1

4

[（PA²+PB²）+（PA²+PC²）+（PB²+PC²）]=

1

2

（PA²+PB²+PC²）=8．
当且仅当PA=PB=PC时，S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC有最大值等于8．
故答案为：8

点评：本题给出三条侧棱两两垂直的三棱锥，已知它的外接球半径为2的情况下求侧面积的最大值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、长方体的性质与对角线公式、球内接多面体与基本不等式等知识，属于中档题．