Question

（2012•徐汇区一模）已知各项为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得

am•an

=2

2

a1，则

1

m

+

4

n

的最小值为

11

6

．

Answer 1

分析：由题意可得 a₆q=a₆+2

a6

q

，解得q=2．由

am•an

=2

2

a1可得 m+n=5，再由m、n是正整数，求得

1

m

+

4

n

的最小值．

解答：解：设等比数列的公比为q，则由 a₇=a₆+2a₅ ，可得到 a₆q=a₆+2

a6

q

，
由于 a_n＞0，所以上式两边除以a₆ 得到q=1+

2

q

，解得q=2或q=-1．
因为各项全为正，所以q=2．
由于存在两项 a_m，a_n 使得

am•an

=2

2

a1，所以，a_m•a_n=8 a12，
即 a1qm-1•a1qn-1=8 a12，∴q^m+n-2=8，∴m+n=5．
当 m=1，n=4时，

1

m

+

4

n

=2；  当 m=2，n=3时，

1

m

+

4

n

=

11

6

；当 m=3，n=2时，

1

m

+

4

n

=

7

3

；
当 m=4，n=1时，

1

m

+

4

n

=

17

4

．
故当 m=2，n=3时，

1

m

+

4

n

取得最小值为

11

6

，
故答案为

11

6

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．