Question

已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x₁＜x₂＜π的任意 x₁，x₂，给出下列结论
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0；
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
其中正确的结论为

 

．（把所有正确的序号都填上）

Answer 1

分析：本题要借助三角函数的图象与性质来研究，对四个命题的形式加以变化变成规范的形式，利用相关的性质判断即可．
对于选项（1）由于（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0等价于

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜0故可借助函数的图象得出结论
对于选项（2）由于 x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）等价于

f( x 2)

x 2

＜

f( x 1)

x 1

，可借助函数的变化率得出结论
对于选项（3）由于f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁等价于

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜1，故可借助函数的图象变化规律得出结论
对于选项（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)说明函数是一个凸函数，以此来比较函数的单调性即可得出结论．

解答：解：函数f（x）=sinx，当自变量在（0，π）上变化时，函数的图象是先升后降，
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜0，即图象上任意两点连线的斜率小于0，由函数图象的性质知，此结论不成立
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）?

f( x 2)

x 2

＜

f( x 1)

x 1

，此说明函数的变化率随着自变量的增大逐渐变小，与函数的变化率的变化相符，故结论正确；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜1，由导数的定义知此函数在所给的区间上导数值恒小于1，符合题意，故结论正确；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)说明函数是一个凸函数，而f（x）=sinx，当自变量在（0，π）上不是凸函数，故此结论不正确
综上（2）、（3）是正确的
故答案为：（2）、（3）

点评：本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数的单调性，用正弦函数的导数来判断其单调性，知识性较强．