Question

如图，ABCD是一块矩形铁板AB=48cm，BC=30cm，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱．
（Ⅰ）写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式，并求其定义域；
（Ⅱ）当水箱高度x为何值时，水箱的容积V最大，并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）由图形据体积公式得出体积关于高x的函数，再由题意中的限制条件得出定义域．
（2）先求导，列表，确定函数的单调性，即可求出最值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设高为x，则V=（48-2x）（30-2x）x=4（360x-39x²+x³）（0＜x＜15）．
（Ⅱ）∵V=4（360x-39x²+x³），
∴V′=4（3x²-78x+360），
令V′=0，即3x²-78x+360=0，
解得，x=6或x=20（舍）．
当x变化时，V′，V的变化情况如下表：

x	（0，6）	6	（6，15）
V′	+	0	-
V		最大值

由上表可知，当x=6cn时，容积V有最大值，且最大值为3888立方厘米．

点评：本题考查长方体的体积公式以及用导数数求最值的过程，考查学生的计算能力，属于中档题．