Question

现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中

3

4

是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有

1

3

持旅游金卡，在境内游客中有

2

3

持旅游银卡，其余游客都未持金、银卡．
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且少于2人持银卡的概率；
（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设采访到不持银卡人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由题意可得：境内游客有36×

3

4

人，其中境外游客中有27×

1

3

人持旅游金卡；境内游客有9人，在境内游客中有9×

2

3

=6持旅游银卡，有21人未持金、银卡．设事件A₁表示“该团3人中，有1人持金卡，0人持银卡”，则P（A₁）=

∁ 1 9 ∁ 2 21

∁ 3 36

．设事件A₂表示“该团3人中，有1人持金卡，1人持银卡”，则P（A₂）=

∁ 1 9 ∁ 1 6 ∁ 1 21

∁ 3 36

．设事件B为“恰有1人持金卡且少于2人持银卡”，利用互斥事件的概率计算公式可得P（B）=P（A₁）+P（A₂）．
（2）X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=

∁ 3 6

∁ 3 9

，P（X=1）=

∁ 1 3 ∁ 2 6

∁ 3 9

，P（X=2）=

∁ 2 3 ∁ 1 6

∁ 3 9

，P（X=3）=

∁ 3 3

∁ 3 9

，再由公式求即可．

解答： 解：（1）由题意可得：境内游客有36×

3

4

=27人，其中境外游客中有27×

1

3

=9人持旅游金卡；境内游客有9人，在境内游客中有9×

2

3

=6持旅游银卡，有21人未持金、银卡．
设事件A₁表示“该团3人中，有1人持金卡，0人持银卡”，则P（A₁）=

∁ 1 9 ∁ 2 21

∁ 3 36

=

9

34

．
设事件A₂表示“该团3人中，有1人持金卡，1人持银卡”，则P（A₂）=

∁ 1 9 ∁ 1 6 ∁ 1 21

∁ 3 36

=

27

170

．
设事件B为“恰有1人持金卡且少于2人持银卡”，则P（B）=P（A₁）+P（A₂）=

9

34

+

27

170

=

36

85

．
（2）X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=

∁ 3 6

∁ 3 9

=

5

21

，P（X=1）=

∁ 1 3 ∁ 2 6

∁ 3 9

=

15

28

，P（X=2）=

∁ 2 3 ∁ 1 6

∁ 3 9

=

3

14

，P（X=3）=

∁ 3 3

∁ 3 9

=

1

84

．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P（X）	5 21	15 28	3 14	1 84

其EX=0×

5

21

+1×

15

28

+2×

3

14

+3×

1

84

=1．

点评：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．