Question

10．已知偶函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+d的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2，则y=f（x）的解析式为f（x）=$\frac{5}{2}$x⁴-$\frac{9}{2}$x²+1．

Answer 1

分析 由题意可得d=1，由偶函数的性质可得b=0，求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程可得a，c的方程，解方程可得a，c，进而得到所求解析式．

解答 解：由f（x）=ax⁴+bx³+cx²+d的图象经过点（0，1），
可得f（0）=1，即d=1，
由f（x）=ax⁴+bx³+cx²+d为偶函数，
可得b=0，
又f′（x）=4ax³+2cx，
即有在x=1处的切线斜率为4a+2c，
在x=1处的切线方程是y=x-2，
可得4a+2c=1，a+c+d=-1，
解得a=$\frac{5}{2}$，c=-$\frac{9}{2}$，
则f（x）=$\frac{5}{2}$x⁴-$\frac{9}{2}$x²+1．
故答案为：f（x）=$\frac{5}{2}$x⁴-$\frac{9}{2}$x²+1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查函数的解析式的求法，注意运用偶函数的性质和待定系数法，考查运算能力，属于中档题．