Question

素材1：某工厂生产某种产品；

素材2：该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为 P=24 200-x²;

素材3：生产x吨的成本为 R=50 000+200x(元).

先将上面的素材构建成一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为 P=24 200-x²，且生产x吨的成本为 R=50 000+200x(元). 问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润=收入-成本)

思路分析：根据题意，列出函数关系式，求导求解.

解：每月生产x吨时的利润为

f(x)=(24 200-x²)x-(50 000+200x)

=-x³+24 000x-50 000(x≥0).

由f′(x)=-x²+24 000=0,解得x₁=200,x₂=-200(舍去).

因f(x)在［0,+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0,故它就是最大值点，且最大值为

f(200)=-×200³+24 000×200-50 000=3 150 000(元).

∴每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.