Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+3-4a，x＜1}\\{{x}^{2}-ax，x≥1}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=3，则m取何值时y=f（x）的图象与直线y=m有唯一的公共点？
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）画出a=3时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3x-9，x＜1\\{x}^{2}-3x，x≥1\end{array}\right.$的图象，数形结合，可得满足条件的m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{a}{2}≤1\\ a+3-4a≤1-a\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：（I）若a=3，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3x-9，x＜1\\{x}^{2}-3x，x≥1\end{array}\right.$的图象如下图所示：

由图可得：当m∈（-∞，-6）∪{-3}∪（-2，+∞）时，y=f（x）的图象与直线y=m有唯一的公共点；
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{a}{2}≤1\\ a+3-4a≤1-a\end{array}\right.$，
解得a∈[1，2]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的图象，数形结合思想，难度中档．