Question

若曲线C₁：x²+y²-2x=0与曲线C₂：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ）
• B、（-

  3

  3

  ，0）∪（0，

  3

  3

  ）
• C、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• D、（-∞，-

  3

  3

  ）∪（

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：由题意可知曲线C₁：x²+y²-2x=0表示一个圆，曲线C₂：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．

解答：解：由题意可知曲线C₁：x²+y²-2x=0表示一个圆，化为标准方程得：
（x-1）²+y²=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；
C₂：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，
由直线y-mx-m=0可知：此直线过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
当直线y-mx-m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=

|2m|

m2+1

=r=1，
化简得：m²=

1

3

，解得m=±

3

3

，
而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，
则直线y-mx-m=0与圆相交时，m∈（-

3

3

，0）∪（0，

3

3

）．
故选B

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C₂：y（y-mx-m）=0表示两条直线．