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已知函数,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前n项的和Sn,则S10=( )
A.45
B.55
C.210-1
D.29-1
【答案】分析:函数y=f(x)与y=x-1在(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交点依次为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),…,(n+1,n+1).即函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,4,…,n+1.方程g(x)=f(x)-x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0,1,2,3,4,…,可得数列通项公式.
解答:解:当x≤0时,g(x)=f(x)-x+1=x,故a1=0
当0<x≤1时,有-1<x-1≤0,则f(x)=f(x-1)+1=2(x-1)-1+1=2x-2,g(x)=f(x)-x+1=x-1,故a2=1
当1<x≤2时,有0<x-1≤1,则f(x)=f(x-1)+1=2(x-1)-2+1=2x-3,g(x)=f(x)-x+1=x-2,故a3=2
当2<x≤3时,有1<x-1≤2,则f(x)=f(x-1)+1=2(x-1)-3+1=2x-4,g(x)=f(x)-x+1=x-3,故a4=3

以此类推,当n<x≤n+1(其中n∈N)时,则f(x)=n+1,
故数列的前n项构成一个以0为首项,以1为公差的等差数列
故S10==45
故选A
点评:本题考查了数列递推公式的灵活运用,解题时要注意分类讨论思想和归纳总结;本题属于较难的题目,要细心解答.
练习册系列答案
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A.45
B.55
C.210-1
D.29-1

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