Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（-sin$\frac{x}{2}$，-cos$\frac{x}{2}$）．
（I）若|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$．且x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求x的值；
（Ⅱ）函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²，在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且f（$\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$）=$\frac{1}{2}$，a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用向量的坐标运算及两角和的正弦，由|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$可得sin2x=-1，再由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，利用正弦函数的单调性即可求得x的值；
（Ⅱ）依题意，可得f（x）=2-2sin2x，于是由f（$\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$）=2-2cosA=$\frac{1}{2}$可得，cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），故得sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；在△ABC中，a=4，利用正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，得：b=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinC，
从而S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$sinBsinCsinA，利用积化和差公式及余弦函数的单调性质即可求得△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（-sin$\frac{x}{2}$，-cos$\frac{x}{2}$），|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²=（cos$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）²=2-2（cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2-2sin2x=3，
∴sin2x=-$\frac{1}{2}$，
又x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴2x∈[π，2π]，
∴2x=$\frac{7π}{6}$或$\frac{11π}{6}$，∴x=$\frac{7π}{12}$或$\frac{11π}{12}$．
（Ⅱ）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²=-cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2-2sin2x=2-3sin2x，
∴f（$\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$）=2-3sin2（$\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$）=2-3cosA=$\frac{1}{2}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又在△ABC中，a=4，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，
得：b=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$sinBsinCsinA
=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）[cos（B+C）-cos（B-C）]
=-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[-cosA-cos（B-C）]
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[$\frac{1}{2}$+cos（B-C）]
≤$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×$\frac{3}{2}$=4$\sqrt{3}$（当且仅当B=C时取“=”）．
△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，着重考查平面向量的坐标运算及两角和的正弦、正弦定理、积化和差公式及余弦函数的单调性质的综合应用，属于难题．