分析 (I)利用向量的坐标运算及两角和的正弦,由|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$可得sin2x=-1,再由x∈[$\frac{π}{2}$,π],利用正弦函数的单调性即可求得x的值;
(Ⅱ)依题意,可得f(x)=2-2sin2x,于是由f($\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$)=2-2cosA=$\frac{1}{2}$可得,cosA=$\frac{1}{2}$,又A∈(0,π),故得sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;在△ABC中,a=4,利用正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$,得:b=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinB,c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinC,
从而S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$sinBsinCsinA,利用积化和差公式及余弦函数的单调性质即可求得△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$.
解答 解:(I)∵$\overrightarrow{m}$=(cos$\frac{3x}{2}$,sin$\frac{3x}{2}$),$\overrightarrow{n}$=(-sin$\frac{x}{2}$,-cos$\frac{x}{2}$),|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$,
∴|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|2=(cos$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$)2+(sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$)2=2-2(cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$)=2-2sin2x=3,
∴sin2x=-$\frac{1}{2}$,
又x∈[$\frac{π}{2}$,π],∴2x∈[π,2π],
∴2x=$\frac{7π}{6}$或$\frac{11π}{6}$,∴x=$\frac{7π}{12}$或$\frac{11π}{12}$.
(Ⅱ)∵f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|2=-cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2-2sin2x=2-3sin2x,
∴f($\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$)=2-3sin2($\frac{π}{4}$-$\frac{A}{2}$)=2-3cosA=$\frac{1}{2}$,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,又A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{3}$,
∴sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
又在△ABC中,a=4,
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$,
得:b=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinB,c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinC,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$sinBsinCsinA
=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×(-$\frac{1}{2}$)[cos(B+C)-cos(B-C)]
=-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[-cosA-cos(B-C)]
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[$\frac{1}{2}$+cos(B-C)]
≤$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×$\frac{3}{2}$=4$\sqrt{3}$(当且仅当B=C时取“=”).
△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$.
点评 本题考查平面向量数量积的运算,着重考查平面向量的坐标运算及两角和的正弦、正弦定理、积化和差公式及余弦函数的单调性质的综合应用,属于难题.
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