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设集X是实数集R上的子集,如果x0∈R满足:对?a>0,都?x∈X,使得0<|x-x0|<a,那么称x0为集合X的聚点,用Z表示整数集,则给出下列集合:
①{数学公式|n∈Z,n≥0};②{x|x∈R,x≠0};③{数学公式|n∈Z,n≠0};④整数集Z
其中以0为聚点的集合的序号有________(写出所有正确集合的序号)

②③
分析:由已知中关于集合聚点的定义,我们逐一分析四个集合中元素的性质,并判断是否满足集合聚点的定义,进而得到答案.
解答:①中,集合{|n∈Z,n≥0}中的元素是极限为1的数列,
除了第一项0之外,其余的都至少比0大
∴在a<的时候,不存在满足得0<|x|<a的x,
∴0不是集合{|n∈Z,n≥0}的聚点
②集合{x|x∈R,x≠0},对任意的a,都存在x=(实际上任意比a小得数都可以),使得0<|x|=<a
∴0是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点
③集合{|n∈Z,n≠0}中的元素是极限为0的数列,
对于任意的a>0,存在n>,使0<|x|=<a
∴0是集合{|n∈Z,n≠0}的聚点
④对于某个a<1,比如a=0.5,此时对任意的x∈Z,都有|x-0|=0或者|x-0|≥1,也就是说不可能0<|x-0|<0.5,从而0不是整数集Z的聚点
故答案为:②③.
点评:本题考查的知识点是集合元素的性质,其中正确理解新定义--集合的聚点的含义,是解答本题的关键.
练习册系列答案
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设集合X是实数集R上的子集,如果x0∈R满足:对?a>0,都?x∈X,使得0<|x-x0|<a,那么称x0为集合X的聚点,用Z表示整数集,则给出下列集合:其中以0为聚点的集合的序号有
 
(写出所有正确集合的序号)
①{
n
n+1
|n∈Z,n≥0};
②R/{0}(R中除去元素0);
③{
1
n
|n∈Z,n≠0
};
④整数集Z.

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①{
n
n+1
|n∈Z,n≥0};②{x|x∈R,x≠0};③{
1
n
|n∈Z,n≠0};④整数集Z
其中以0为聚点的集合的序号有
 
(写出所有正确集合的序号)

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