Question

如图所示，在四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，BC=2，PB=PC，P-BC-A是60°的二面角．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求四面体P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）作PO⊥面ABC于O，连接AO、BO．因为PA⊥BC，所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，故O是△ABC的垂心．由此能够证明PC⊥AB．
（2）延长AO交BC于D，得AD⊥BC，故PD⊥BC，所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角．因为PB=PC，所以D是BC的中点，故AB=AC．在Rt△PDO中，PO=ODtan60°=

2

OD．在Rt△ADC与Rt△CDO中，因为∠DAC=∠DCO，所以△ADC∽△CDO，由此能够求出P-ABC的体积．

解答：（1）证明：作PO⊥面ABC于O，连接AO、BO．
因为PA⊥BC，
所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，
故O是△ABC的垂心．
连接CO，有CO⊥AB，
∵

AB⊥PO AB⊥CO

，
∴AB⊥面POC，
∵PC?面POC，
所以PC⊥AB．                           （5分）
（2）解：延长AO交BC于D，
得AD⊥BC，
故PD⊥BC，
所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角．               （7分）
因为PB=PC，
所以D是BC的中点，
∵BC=2，
∴CD=1．
故AB=AC．
在Rt△PDO中，PO=ODtan60°=

3

OD．   （9分）
在Rt△ADC与Rt△CDO中，
因为∠DAC=∠DCO，
所以△ADC∽△CDO，
故有

AD

CD

=

CD

OD

，
即AD•OD=CD²=(

BC

2

)2=

1

4

•2²═1           （11分）
∴P-ABC的体积：
V=

1

3

•PO•S_△ABC
=

1

3

（

3

OD）•

1

2

•BC•AD
=

1

3

•

1

2

•2•（

3

OD）•AD
=

3

3

OD•AD
=

3

3

．                  （13分）

点评：本题考查直线与直线垂直的证明和体积的计算，解题时要认真审题，恰当地连接辅助线，注意合理地反立体几何问题转化为平面几何问题进行求解．易错点是空间思维能力有待于进一步加强．