Question

【题目】四面体ABCD中，AB和CD为对棱．设AB=a，CD=b，且异面直线AB与CD间的距离为d，夹角为θ．
（Ⅰ）若θ= ，且棱AB垂直于平面BCD，求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）当θ= 时，证明：四面体ABCD的体积为一定值；
（Ⅲ）求四面体ABCD的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）如图5﹣2，由于棱AB⊥平面BCD，过B作CD边上的高BE，
则AB⊥BE，CD⊥BE，
故BE是异面直线AB与CD的距离，即d=BE．
所以VA﹣BCD= ABS△BCD= a = abd．

（Ⅱ）如图5﹣3，过A作底面BCD的垂线，垂足为O，连结BO与CD相交于E．连结AE，
再过E作AB的垂线，垂足为F．
因为AB⊥CD，所以BO⊥CD（三垂线定理的逆定理），
所以CD⊥平面ABE，
因为EF平面ABE，
所以CD⊥EF，
又EF⊥AB．
所以EF即为异面直线AB，CD的公垂线．
所以EF=d．注意到CD⊥平面ABE．
所以VA﹣BCD= CDS△ABE= ABEFCD= abd为定值．
（Ⅲ）如图5﹣4：将四面体ABCD补成一个平行六面体ABB'D'﹣A'CC'D．
由于AB，CD所成角为θ，
所以∠DCA'=θ，
又异面直线AB与CD间的距离即上、下两底面AB'，A'C'的距离，
所以VABB'D'﹣A'CC'D= absinθ×2d=abdsinθ．
显然VA﹣BCD= VABB'D'﹣A'CC'D= abdsinθ
【解析】（Ⅰ）根据异面直线的距离的定义结合三棱锥的体积公式进行求解即可．（Ⅱ）找出异面直线AB，CD的公垂线，结合三棱锥的体积公式进行证明即可．（Ⅲ）根据锥体的体积公式进行求解．