Question

一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________．

Answer 1

πa³
分析：取底面BCD的中心G，CD的中点E，球心O（在线段AG上），作OH⊥AB，垂足为H，并求出有关线段的长，利用Rt△ABG∽Rt△AOH，即可求出球的半径．
解答：解：取球心O，则O与任一棱的距离即为球的半径．
如图，设CD的中点为E，底面的中心为G，
则AG⊥底面BCD，AE=BE=a，
AG=a，AO=a，BG=a，
由Rt△ABG∽Rt△AOH，
∴AB：AO=BG：OH．
∴OH==a．
∴V=πr³=πa³．
故答案为πa³．．
点评：本题考查球与正四面体的六条棱都相切问题，求出球的半径是解决问题的关键．或先求EH，则球的半径为．