Question

下列是有关直线与圆锥曲线的命题：
①过点（2，4）作直线与抛物线y²=8x有且只有一个公共点，这样的直线有2条；
②过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有且仅有两条；
③过点（3，1）作直线与双曲线

x2

4

-y2=1有且只有一个公共点，这样的直线有3条；
④过双曲线x2-

y2

2

=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则满足条件的直线l有3条；
⑤已知双曲线x2-

y2

2

=1和点A（1，1），过点A能作一条直线l，使它与双曲线交于P，Q两点，且点A恰为线段PQ的中点．
其中说法正确的序号有

①②④

．（请写出所有正确的序号）

Answer 1

分析：①先验证点点（2，4）在抛物线y²=8x上，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．
②过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．
③因为点 （3，1）不在双曲线的渐近线上，所以结合双曲线的性质与图形可得过点（3，1）与双曲线公有一个公共点的直线的条数．
④双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段．
⑤先假设存在这样的直线l，分类讨论：斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，①当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范围，再由M是线段AB的中点，则

x1+x2

2

=1，可求k，看是否矛盾，②当k不存在时，直线经过点M但不满足条件，故符合条件的直线l不存在，综合可求．

解答：解：①由题意可知点（2，4）在抛物线y²=8x上
故过点（2，4）且与抛物线y²=8x只有一个公共点时只能是
i）过点（2，4）且与抛物线y²=8x相切；ii）过点（2，4）且平行与对称轴．①故正确；
②过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）
代入抛物线y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴

2(k2+2)

k2

=5，k²=

4

3

，则这样的直线有且仅有两条，故②正确；
③由题意可得：双曲线x²-y²=3的渐近线方程为：y=±

1

2

x，
所以点（3，1）不是双曲线渐近线上的一点，
所以过点 （3，1）且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条，其中两条是过点 （3，1）并且与双曲线相切的直线，另两条过点 （3，1）且平行于渐近线x+y=0的直线．故③错；
④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，
当直线与实轴垂直时，
有3-

y2

2

=1，∴y=2，
∴直线AB的长度是4，
综上可知有三条直线满足|AB|=4，故④正确；
⑤设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有

y=k(x-1)+1 x2- 1 2 y2=1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜

3

2

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

又B（1，1）为线段AB的中点
∴

x1+x2

2

=1 即

2(k-k2)

2-k2

=1，∴k=2
当k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．故⑤错．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合在实际问题中的应用．解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏．