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下列是有关直线与圆锥曲线的命题:
①过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,这样的直线有2条;
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线有且仅有两条;
③过点(3,1)作直线与双曲线
x2
4
-y2=1
有且只有一个公共点,这样的直线有3条;
④过双曲线x2-
y2
2
=1
的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则满足条件的直线l有3条;
⑤已知双曲线x2-
y2
2
=1
和点A(1,1),过点A能作一条直线l,使它与双曲线交于P,Q两点,且点A恰为线段PQ的中点.
其中说法正确的序号有
①②④
①②④
.(请写出所有正确的序号)
分析:①先验证点点(2,4)在抛物线y2=8x上,进而根据抛物线的图象和性质可得到答案.
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,先看直线AB斜率不存在时,求得横坐标之和等于2,不符合题意;进而设直线AB为y=k(x-1)与抛物线方程联立消去y,进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和,进而求得k.得出结论.
③因为点 (3,1)不在双曲线的渐近线上,所以结合双曲线的性质与图形可得过点(3,1)与双曲线公有一个公共点的直线的条数.
④双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,当直线与实轴垂直时,做出直线与双曲线交点的纵标,得到也是一条长度等于4的线段.
⑤先假设存在这样的直线l,分类讨论:斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,①当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,可求k的范围,再由M是线段AB的中点,则
x1+x2
2
=1,可求k,看是否矛盾,②当k不存在时,直线经过点M但不满足条件,故符合条件的直线l不存在,综合可求.
解答:解:①由题意可知点(2,4)在抛物线y2=8x上
故过点(2,4)且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是
i)过点(2,4)且与抛物线y2=8x相切;ii)过点(2,4)且平行与对称轴.①故正确;
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,
若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.
故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-1)
代入抛物线y2=4x得,k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5,
2(k2+2)
k2
=5,k2=
4
3
,则这样的直线有且仅有两条,故②正确;
③由题意可得:双曲线x2-y2=3的渐近线方程为:y=±
1
2
x,
所以点(3,1)不是双曲线渐近线上的一点,
所以过点 (3,1)且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条,其中两条是过点 (3,1)并且与双曲线相切的直线,另两条过点 (3,1)且平行于渐近线x+y=0的直线.故③错;
④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,
∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,
当直线与实轴垂直时,
有3-
y2
2
=1,∴y=2,
∴直线AB的长度是4,
综上可知有三条直线满足|AB|=4,故④正确;
⑤设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1
(1)当k存在时有
y=k(x-1)+1
x2-
1
2
y
2
=1
得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,
∴k<
3
2
设P(x1,y1),Q(x2,y2
∴x1+x2=
2(k-k2)
2-k2
又B(1,1)为线段AB的中点
x1+x2
2
=1 即
2(k-k2)
2-k2
=1,∴k=2
当k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程(1)无实数解
故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.
(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在.故⑤错.
故答案为:①②④.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了数形结合在实际问题中的应用.解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况,以免遗漏.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

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③过点(3,1)作直线与双曲线
x2
4
-y2=1
有且只有一个公共点,这样的直线有3条;
④过双曲线x2-
y2
2
=1
的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则满足条件的直线l有3条;
⑤已知双曲线x2-
y2
2
=1
和点A(1,1),过点A能作一条直线l,使它与双曲线交于P,Q两点,且点A恰为线段PQ的中点.
其中说法正确的序号有______.(请写出所有正确的序号)

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年四川省资阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题

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其中说法正确的序号有    .(请写出所有正确的序号)

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