Question

16、给出下列命题：
①关于x的的不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集为R的充要条件是2＜a＜6；
②我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1，3，5，7，9}的“孙集”有26个．
③已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）无实数根，则方程f[f（x）]=x也一定没有实数根；
④若{a_n}成等比数列，S_n是前n项和，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比数列．
其中正确命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析命题：①首先对a-2进行讨论，a-2=0时，恒成立；a-2≠0时，在解答的过程当中，要先将所给的条件由二次不等式问题转化为二次函数问题，从而获得相应参数a的范围②正确理解“孙集”的含义，很容易计算出“孙集”个数；③方程f（x）无实根，即ax²+bx+c=0无实根，则可知△＜0，推出结论；④运用等比数列的性质，进行推论；综合可得答案．

解答：解：①当a-2=0即a=2时，不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集为R
当a-2≠0是，设一元二次函数y=（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的图象开口向上，且x轴无交点．所以对于一元二次方程（a-2）x²+（a-2）x+1＞0必有△=（a-2）²-4（a-2）＜0解得：2＜a＜6
∴关于x的的不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集为R的充要条件是2≤a＜6．则判断命题①正确．
②集合{1，3，5，7，9}的“孙集”有：φ，单元数集5个．2元素集C₅²=10个，3元素集C₅³=10个，共26个．则判断命题②正确．
③f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）无实数根，即ax²+bx+c=0（a≠0）无实根，则可知△＜0，则判断命题③正确．
④若{a_n}成等比数列，S_n是前n项和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列，所以S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比数列，则判断命题④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了充要条件的问题、真子集、二次函数以及等比数列的性质．解答过程当中要注意与一元二次不等式、一元二次函数以及一元二次方程的知识相联系．