Question

已知可导函数f（x）的导函数为g（x），且满足：①

g(x)-1

x-1

＞0；②f（2-x）-f（x）=2-2x，记a=f（2）-1，b=f（π）-π+1，c=f（-1）+2，则a，b，c的大小顺序为（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、b＞c＞a
• D、b＞a＞c

Answer 1

分析：比较a，b，c的大小，想到利用函数的单调性，由b=f（π）-π+1和

g(x)-1

x-1

＞0想到构造函数h（x）=f（x）-x+1，求导，根据

g(x)-1

x-1

＞0利用积商符号法则判断函数h（x）的单调性，并对c=f（-1）+2根据f（2-x）-f（x）=2-2x进行等价变形为c=f（3）-3+1，根据函数的单调性即可得出a，b，c的大小．

解答：解：∵f（2-x）-f（x）=2-2x是减函数，
根据复合函数的单调性知函数f（x）增函数，
令h（x）=f（x）-x+1
则h′（x）=f′（x）-1=g（x）-1，
∵

g(x)-1

x-1

＞0
∴当x＞1时，g（x）-1＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增；
而f（-1）+2=f（3）+2-2×3+2=f（3）-2=f（3）-3+1
∴f（π）-π+1＞f（3）-3+1＞f（2）-1；即b＞c＞a，
故选C．

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性，体现了函数的思想，综合性强．同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．