Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
1）求证：BC₁∥面A₁DC；
2）求棱AA₁的长，使得A₁C与面ABC₁所成角的正弦值等于．

Answer 1

解：（1）连接AC₁与A₁C交于点E，则E为AC₁的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC₁，
而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，则有BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a）
求得平面ABC₁的发向量
=求得a=或
∴棱AA₁的长为或
分析：（1）连接AC₁与A₁C交于点E，则E为AC₁的中点，又点D是AB中点，根据中位线定理可知DE∥BC₁，而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，满足线面平行的判定定理，从而BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐标系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a），求出平面ABC₁的发向量，然后根据=建立等式，解之即可求出所求．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及线面所成角的应用，同时考查了利用空间向量的知识解决立体几何问题，属于中档题．