Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均是边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求点A到平面A₁EB的距离．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ），要证明CD∥平面A₁EB，只需证明CD与平面A₁EB内的一条直线平行，根据本题条件，
设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD，则容易证明ECOD为平行四边形，从而EO∥CD，根据线面
平行的判定证明即可；
对于（Ⅱ），求点到平面的距离，应该是点A到平面A₁EB的垂线段的长度，而由本题条件，考虑证明
AO与平面A₁EB垂直，则距离就是AO的长度，由第一问可得：AO⊥OE，又侧面是正方形，容易得到
AO⊥A₁B，从而AO与平面A₁EB垂直，距离就是AO的长度．

解答：证明：（Ⅰ）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中点，
则EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，即EC∥OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE．（7分）

（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
所以BB₁⊥平面ABC．
因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因为侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．
点A到到平面A₁EB的垂线段为AO，故距离等于

2

（14分）

点评：本题考查线面平行的判定与点到面距离的求法，其中转化思想非常重要，即将线面平行转化为线线平行，点面距离转化为线面垂直．