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已知正四面体ABCD的棱长为3cm.
(1)已知点E是CD的中点,点P在△ABC的内部及边界上运动,且满足EP∥平面ABD,试求点P的轨迹;
(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到尽头,当它爬了12cm之后,求恰好回到A点的概率.
【答案】分析:(1)取BC中点M,连接EM,并取AC的中点Q,连QE,QM,根据线面平行的判定定理可得:EQ∥平面ABD,MQ∥平面ABD,再结合面面平行的判定定理得到:平面QEM∥平面ABD,进而得到点P的轨迹为线段QM.
(2)由题意可得:小虫共走过了4条棱,并且得到基本事件总数为81,再分别讨论当小虫走第1条棱时,第2条棱,第3条棱的所有走法,即可得到小虫走12cm后仍回到A点的所有走法为21种,进而根据等可能事件的概率公式求出答案.
解答:解:(1)取BC中点M,连接EM,并取AC的中点Q,连QE,QM,
所以EQ∥AD,EQ?平面ABD,AD?平面ABD,
所以EQ∥平面ABD.
同理可得:MQ∥平面ABD.
因为EQ,MQ为平面QEM内的两条相交直线,
所以平面QEM∥平面ABD,
所以得到点P的轨迹为线段QM.
(2)由题意可得:小虫爬了12cm,并且恰好回到A点,
所以小虫共走过了4条棱,
因为每次走某条棱均有3种选择,
所以所有等可能基本事件总数为34=81.
当小虫走第1条棱时,有3种选择,即AB,AC,AD,不妨设小虫走了AB,
然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD,
若第2条棱走的为BA,则第3条棱可以选择走AB,AC,AD,计3种可能;
若第2条棱走的为BC,则第3条棱可以选择走CB,CD,计2种可能;
同理第2条棱走BD时,第3棱的走法亦有2种选择.
所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×(3+2+2)=21种可能.
所以所求的概率为
点评:本题主要考查线面平行与面面平行的判定定理,以及考查等可能事件的概率公式,解决此题的关键是仔细审题挖掘题中隐含条件,再结合列举的方法得到所求事件包含的基本事件数,在列举时要做到不重不漏有规律的列举,此题属于中档题.
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T
S
等于(  )
A、
1
9
B、
4
9
C、
1
4
D、
1
3

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6
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