Question

己知函数f（x）=tx，g（x）=（2-t）x²-4x+l．若对于任一实数x₀，函数值f（x₀）与g（x₀）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2]
• B、（-2，0）∪（-2，2]
• C、（-2，2]
• D、（0，+∞）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：不论t为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对t分类讨论，即t=0、t=2、t＞2，t＜-2 讨论f（x）与g（x）的值的正负，排除即可得出答案．

解答： 解：函数f（x）=tx，g（x）=（2-t）x²-4x+l．
△=16-4×（2-t）×1=8+4t，
①当t=0时，f（x）=0，△＞0，g（x）有正有负，不符合题意，故排除C．
②当t=2时，f（x）=2x，g（x）=-4x+1，符合题意，
③当t＞2时，g（x）=（2-t）x²-4x+l．f（x）=tx，当x取-∞时，f（x₀）与g（x₀）都为负值，不符合题意，故排除D
④当t＜-2时，△＜0，∴g（x）=（2-t）x²-4x+l＞0恒成立，符合题意，故B不正确，
故选：A

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，排除转化思想，是中档题．