【题目】已知函数.
(1)那么方程在区间上的根的个数是___________.
(2)对于下列命题:
①函数是周期函数;
②函数既有最大值又有最小值;
③函数的定义域是,且其图象有对称轴;
④在开区间上,单调递减.
其中真命题的序号为______________(填写真命题的序号).
【答案】4039; ②③;
【解析】
(1)方程在区间上的根,即为在区间上的根.
(2)根据函数的周期性的定义、最值、对称性以及单调性判断可得;
解:(1),即,即,,解得,,
由于,
方程在区间上的根的个数是4039个,
(2)①函数是周期函数不正确,因为分母随着自变量的远离原点,趋向于正穷大,
所以函数图象无限靠近于轴,故不是周期函数,故①错误;
③,,则恒成立;故函数的定义域为,在函数图象上任取点,则点关于直线的对称点是
而.
直线是函数图象的对称轴;故③正确,
②因为有最值,在上单调递增,在上单调递减,所以,从而(当且仅当取等号),所以既有最大值又有最小值;故②正确;
④因为函数在与时,,故在开区间上,不可能单调递减.故④错误;
故正确的有②③.
故答案为:(1)、4039;(2)、②③;
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【题目】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为()件.当时,年销售总收人为()万元;当时,年销售总收人为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)
(1)求(万元)与(件)的函数关系式;
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
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【题目】已知椭圆过点,且左焦点与抛物线的焦点重合。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点、,线段的中点记为,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。
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【题目】已知椭圆的半焦距为,圆与椭圆有且仅有两个公共点,直线与椭圆只有一个公共点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线过椭圆的左焦点,且与椭圆分别交于两点,试问:轴上是否存在定点,使得为定值?若存在,求出该定值和点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数f(x)=x2-(2m+1)x+m.
(1)若方程f(x)=0有两个不等的实根x1,x2,且-1<x1<0<x2<1,求m的取值范围;
(2)若对任意的x∈[1,2],≤2恒成立,求m的取值范围.
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【题目】如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC ⊥BC1;
(2)求证:AC 1 // 平面CDB1;
(3)(3)求三棱锥的体积.
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