Question

2．若f（x）=ax²+bx+c为一元二次函数，且f（1）=-$\frac{a}{2}$，a＞2c＞b；
?（1）试判别a，b的符号；
?（2）求函数y=f（x）图象被x轴所截得弦长的范围；
?（3）求证：f（x）在（0，2）在至少存在一个零点．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=ax²+bx+c为一元二次函数，且f（1）=-$\frac{a}{2}$，可得a+b+c=-$\frac{a}{2}$，结合a＞2c＞b，即可判别a，b的符号；
（2）|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{b}{a}+2）^{2}+2}$，利用-2＜$\frac{b}{a}$＜-1，即可求函数y=f（x）图象被x轴所截得弦长的范围；
（3）ff（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c，分类讨论，结合f（1），即可证明f（x）在（0，2）在至少存在一个零点．

解答 （1）解：∵f（x）=ax²+bx+c为一元二次函数，且f（1）=-$\frac{a}{2}$，
∴a+b+c=-$\frac{a}{2}$，∴c=-b-$\frac{3}{2}$a，
∵a＞2c＞b，
∴a＞-2b-3a＞b，
∴a+b＞0，a＞b，
∴a＞0，b＜0；
（2）解：由（1）得2c=-3a-2b①；-2＜$\frac{b}{a}$＜-1．②
设方程f（x）=0的两根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，③x₁x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{b}{a}$，④
由③④得|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{b}{a}+2）^{2}+2}$
由②得$\sqrt{2}$＜|x₁-x₂|＜$\sqrt{3}$，
即函数y=f（x）的图象被x轴截得的弦长的取值范围是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
（3）证明：由（1）得b=-$\frac{3}{2}$a-c，
∴f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c．
1°当c≤0时，∵a＞0，∴f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0且f（2）=a-c＞0．
∴f（x）=0在区间（1，2）内至少有一个实数根．
2°当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0．
∴f（x）=0在区间（0，1）内至少有一个实数根．
综合1°和2°，得f（x）=0在（0，2）内至少有一个实数根．

点评 本题考查二次函数，考查函数y=f（x）的图象被x轴截得的弦长的取值范围，考查方程的根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．