Question

下列四个结论：（1）命题“平行四边形是矩形”的否定是真命题；
（2）已知a_n=n²-λn，若数列{a_n}是增数列，则λ≤2；
（3）等比数列{a_n}是增数列的充要条件是a₁＜a₂＜a₃；
（4）△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是cosA＜cosB．
其中正确的有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：（1）写出命题“平行四边形是矩形”的否定再做判断；
（2）由a n=n2-λn，数列{a_n}是增数列，知a_n+1-a_n=（n+1）²-λ（n+1）-n²+λn=2n+1-λ＞0恒成立．
（3）和（4）既要研究必要性，又要分析充分性．

解答：解：（1）命题“平行四边形是矩形”的否定是：
“如果一个四边形不是平行四边形，则这个四边形不是矩形”，它是真命题，故（1）正确；
（2）∵a n=n2-λn，数列{a_n}是增数列，
∴a_n+1-a_n=（n+1）²-λ（n+1）-n²+λn=2n+1-λ＞0恒成立．
只要2n+1-λ的最小值大于0即可，
∴3-λ＞0．∴λ＜3．故（2）不正确；
（3）{a_n}是等比数列，
则由“a₁＜a₂＜a₃”可得数列{a_n}是递增数列，故充分性成立．
若数列{a_n}是递增数列，则一定有a₁＜a₂＜a₃，故必要性成立．
∴等比数列{a_n}是增数列的充要条件是a₁＜a₂＜a₃．故（3）正确；
（4）必要性：在△ABC中，“cosB＞cosA”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有B＜A，
若A不是钝角，显然有“sinB＜sinA”成立，
若A是钝角，因为A+B＜π，故有B＜π-A＜

π

2

，故有sinB＜sin（π-A）=sinA
综上，“cosB＞cosA”可以推出“sinB＜sinA”
充分性：由“sinB＜sinA”
若A是钝角，在△ABC中，显然有0＜B＜A＜π，可得，“cosB＞cosA”
若A不是钝角，显然有0＜B＜A＜

π

2

，此时也有cosB＞cosA，
综上，“sinB＜sinA”推出“cosB＞cosA”成立
故△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是cosA＜cosB．故（4）正确．
故选D．

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是掌握充要条件的判断方法，利用原命题真假证充分性，逆命题的真假证明必要性，本题中有一个易混点，即没有搞清谁是谁的充要条件导致证明充分性与必要性交换，逻辑混乱，证明此类题时一定要搞清谁是谁的充要条件，一个易行的办法是，找出所涉及的命题来，用证明原命题的真假来证明充分性，用证明逆命题的真假来证明必要性．