Question

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接EO，由O为BD中点，E为PD中点，知EO∥PB．由此能够证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由正方形ABCD中，CD⊥AD，知CD⊥平面PAD，由此能够证明平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．…（1分）
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB．…（2分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，…（3分）
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD．
∴CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．…（4分）
又∵在正方形ABCD中，CD⊥AD，且PA∩AD=A，…（5分）
∴CD⊥平面PAD．…（6分）
又∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（7分）
（Ⅲ）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（8分）
∵PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，∴

AP

=（0，0，2）是平面ABCD的法向量，
设平面AEC的法向量为

n

=(x，y，z)，

AE

=(0，1，1)，

AC

=(2，2，0)，
则

n • AE =0 n • AC =0

，即

0+y+z=0 2x=2y+0=0

，解得

n

=(1，-1，1)．…（11分）
∴cos＜

AP

，

n

＞=

2

2× 3

=

3

3

，…（12分）
∴二面角E-AC-D的正弦值为

6

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．