Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为．
（1）求线段PQ中点M的轨迹C的方程；
（2）R₁，R₂是曲线C上的动点，R₁，R₂到y轴的距离之和为1，设u为R₁，R₂到x轴的距离之积．问：是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？若存在，求出这个m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OA的方程，设出，利用中点坐标公式，三角形的面积公式，消去a，b得点M的轨迹C的方程．
（2）设R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，推出u的表达式，令t=x₁•x₂则，推出，利用导数判断函数的单调性，求出最大的常数使u≥m恒成立．
解答：解：（1）射线．（1分）
设（a＞0，b＞0），
则，（3分）
又因为△POQ的面积为，
所以；（4分）
消去a，b得点M的轨迹C的方程为：（x＞0，y＞0）．（7分）
（2）设R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，（8分）
所以
=（9分）
令t=x₁•x₂则，所以有，（11分）
则有：当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，（13分）
所以存在最大的常数使u≥m恒成立．（14分）
点评：本题中档题，考查与直线有关的函数的最值问题曲线的轨迹方程的求法，导数的应用，单调性常常利用导数求解；考查计算能力，转化思想，是有难度的中档题，常考题型．