Question

6．有下列叙述：
①y=x²-2|x|-3的递增区间为[0，+∞）；
②函数f（x）的定义域为R，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=$\frac{3}{4}$；
③函数y=f（x）是R上的偶函数，对?x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁、x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则函数x=-3是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
④已知函数f（x）=x|x|，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．
其中所有正确叙述的序号是②③④．

Answer 1

分析 ①作出函数的图象，结合函数的单调性进行判断．
②利用抽象函数的关系进行递推即可．
③根据抽象函数的关系结合函数的奇偶性和周期性进行转化进行求解．
④判断函数的单调性，结合不等式恒成立进行转化求解即可．

解答 解：①作出y=x²-2|x|-3的图象如图：则函递增区间（-1，0）和[1，+∞），故①错误；
②函数f（x）的定义域为R，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，
则f（8）=2f（4）=3，则f（4）=3，则f（2）=$\frac{1}{2}$f（4）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$；故②正确，
③函数y=f（x）是R上的偶函数，对?x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
则当x=-3时，f（-3+6）=f（-3）+f（3），
即f（3）=f（3）+f（3），则f（3）=0，
则f（x+6）=f（x），
当x₁、x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
则函数f（x）在[0，3]上为减函数，
∵f（x）是偶函数，∴函数f（x）关于x=0对称，
则f（-3-x）=f（-3-x+6）=f（3-x）=f（-3+x），
则函数x=-3是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故③正确，
④当x＜0时，f（x）=-x²递增，当x≥0时，f（x）=x²递增，
函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{（x≥0）}\\{（x＜0）}\end{array}$，在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，
即：t≥（$\sqrt{2}$-1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，
∴t≥（$\sqrt{2}$-1）（t+2），
解得：t≥$\sqrt{2}$，故④正确．
故答案为：②③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，奇偶性和恒成立问题，综合考查函数的性质．运算量较大，综合性较强．