Question

13．已知向量$\overrightarrow{AB}=（1，0，0），\overrightarrow{AC}=（0，2，0），\overrightarrow{AD}=（0，0，3）$，则$\overrightarrow{AB}$与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出$\overrightarrow{AB}$与平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}=（1，0，0），\overrightarrow{AC}=（0，2，0），\overrightarrow{AD}=（0，0，3）$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=（-1，0，3），
设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=6，得$\overrightarrow{n}$=（6，3，2），
设$\overrightarrow{AB}$与平面BCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|6|}{1×\sqrt{36+9+4}}$=$\frac{6}{7}$．
∴$\overrightarrow{AB}$与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{6}{7}$．
故答案为：$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．