Question

证明：
（1）cos4α+4cos2α+3=8cos⁴α；
（2）

1+sin2α

2cos2α+sin2α

=

1

2

tanα+

1

2

；
（3）

sin(2α+β)

sinα

-2cos(α+β)=

sinβ

sinα

；
（4）

3-4cos2A+cos4A

3+4cos2A+cos4A

=tan⁴A．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：（1）根据余弦的倍角公式，依次进行化简即可得到结论；
（2）根据二倍角的正弦公式展开后提取因式，再根据同角三角函数关系式即可化简；
（3）根据二倍角的正弦公式展开后通分，再根据同角三角函数关系式即可化简；
（4）先根据二倍角公式化简，再配方后用二倍角公式消去1，最后由同角三角函数的基本关系可得到答案．

解答： 证明：（1）左边=cos4α+4cos2α+3=2cos²2α-1+4cos2α+3=2（cos²2α+2cos2α+1）=2（cos2α+1）²=2（2cos²α-1+1）²=2（2cos²α）²=8cos⁴α=右边；
（2）左边=

1+sin2α

2cos2α+sin2α

=

(sinα+cosα)2

2cosα(cosα+sinα)

=

sinα+cosα

2cosα

=

1

2

tanα+

1

2

=右边；
（3）左边=

sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

sinα

-2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cosβcosα+

sinβ(cos2α-sin2α)

sinα

-2cosαcosβ+2sinαsinβ=

sinβ(cos2α-sin2α+2sin2α)

sinα

=

sinβ

sinα

=右边；

（4）左边=

3-4cos2A+cos4A

3+4cos2A+cos4A

=

2-4cos2A+2cos22A

2+4cos2A+2cos22A

=

(cos2A-1)2

(cos2A+1)2

=

4sin4A

4cos4A

=tan⁴A=右边；

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用．三角函数部分公式比较多要强化记忆，属于基本知识的考查．