Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断的单调性并证明；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）在R上为减函数,证明详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）思路一、由可求得a的值；
思路二、由于是R上的奇函数，所以，由此也可求得a的值.
（Ⅱ）思路一：根据函数单调性的定义证明；思路二：利用导数证明.
（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式等价于

在R上为减函数，由上式得：解此不等式即可.
试题解析：（I）法一、函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，
即，故．
法二、由是R上的奇函数，所以，故．
再由，
通过验证来确定的合理性             4分
（Ⅱ）由（1）知
由上式易知在R上为减函数.
证明：法一、由（1）知
设，则，
所以，所以在R上为减函数.              8分
法二、由（1）知
求导得：，所以在R上为减函数.          8分
（Ⅲ）又因是奇函数，从而不等式等价于

在R上为减函数，由上式得：
即对一切
从而              12分