Question

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（1）求a₁，a₃；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法．（1）由S_n是na_n与na的等差中项．我们可能得到S_n、na_n与na的关系式，从n=1依次代入整数值，再结合a₂=a+2（a为常数），不难给出a₁，a₃；（2）由a₁，a₂，a₃的值与n的关系，我们不难归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．

解答：解：（1）由已知得Sn=

nan+na

2

，
当n=1时，
S₁=a₁则2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃
则2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（2）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
证明：
①当n=1时，
左边=a₁=a，
右边=a+2（1-1）=a，
则当n=1时，等式成立，
当n=2时，
左边=a₂=a+2=右边，
故当n=2时，等式成立．
②假设n=K时，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）则当n=K+1时，
a_K+1=S_K+1-S_K=

aK+1+a

2

(k+1)-

ak+a

2

k
∴（K-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

K

K-1

a_k-

a

K-1

将a_K=a+2（K-1）代入得
a_K+1=a+2[（k+1）-1]，
∴当n=K+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．

点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．