Question

已知函数f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0).

（1）当a＝0时，求f(x)的极值；

（2）当a＞0时，讨论f(x)的单调性；

（3）若对任意的a∈(2,3)，x­1,x2∈[1,3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x1)－f(x­2)|成立，求实数m的取值范围。

 

Answer 1

(1)的极大值为，无极小值.(3)

【解析】

试题分析：(1)求已知函数的极值,利用导数法,即求定义域,求导,求导数为0与单调区间，判断极值点求出极值. (2) 求定义域,求导.利用数形结合思想讨论导数(含参数二次不等式)的符号求f(x)的单调区间,讨论二次含参数不等式注意按照定性(二次项系数是否为0),开口,判别式，两根大小得顺序依次进行讨论,进而得到函数f(x)的单调性(注意单调区间为定义域的子集)(3)这是一个恒成立问题，只需要(m－ln3)a－2ln3＞(|f(x1)－f(x­2)|),故求解确定|f(x1)－f(x­2)|最大值很关键,分析可以发现(|f(x1)－f(x­2)|)=,故可以利用第二问单调性来求得函数的最值进而得到(|f(x1)－f(x­2)|). (m－ln3)a－2ln3＞(|f(x1)－f(x­2)|)对于任意的a∈(2, 3)恒成立,则也是一个恒成立问题,可以采用分离参数法就可以求的m的取值范围.

试题解析：（1）当时，,由,解得 ，可知在上是增函数，在上是减函数.

∴的极大值为，无极小值.

①当时，在和上是增函数，在上是减函数；

②当时，在上是增函数；

③当时，在和上是增函数，在上是减函数 8分

（3）当时，由（2）可知在上是增函数，

∴.

由对任意的a∈(2, 3)，x­1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，由于当时，，∴.

考点： 导数 恒成立问题 不等式