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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个焦点是F,M是椭圆上的任意一点,|MF|的最大值与最小值的积为4,椭圆上存在着以直线l:y=x为对称轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=,求椭圆的方程.

解:设椭圆方程为=1(a>b>0),依题意,

∵|MF|的最大值为a+c,|MF|的最小值为a-c,则(a+c)(a-c)=4,即b2=4.

设过M1、M2的直线方程为y=-x+m,直线M1M2与椭圆交于M1(x1,y1),M2(x2,y2),线段M1M2的中点为M(x0,y0).

得(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0.

x0=(x1+x2)=,     ①

y0=-x0+m=,         ②

将①②代入y=x,得=,又∵a2>b2=4,∴m=0,

∴x1+x2=0,x1x2=,

|M1M2|=.∴a2=5.

所以椭圆方程为=1.

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