Question

若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   e＞2
4. D.
   1＜e＜2

Answer 1

C
分析：先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．
解答：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
由两点间距离公式：x²+y²=（x-c）²+y²得x=，
∵x≥a，∴≥a，得e≥2，
又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，
所以不能等于2
故选C．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．